치수 분석은 단순한 범용 원리 즉 치수 동질성의 원리에 의존하며, 이는 물리적 법칙을 표현하거나 물리적 과정을 설명하는 모든 수학적 표현은 측정의 기본 단위의 변화와 관련하여 변하지 않아야 한다.
이 원칙에서, 양 사이의 관계는 1911년 아인슈타인이 설명한 대로 얻어질 수 있다.
치수를 고려할 때 참조된 관계에 참여하는 모든 물리적 양을 알고 있을 때 물리적 양 사이의 일반적 관계를 면밀히 찾는 것이 가능하다는 것은 잘 알려 진 사실이다.
수학적으로 치수 동질성의 원리는 정리로 바뀔 수 있다. 이 값은 측정되는 단위와 독립적인 숫자입니다. 이 정리는 물리적인 양의 일정한 수가 주어진 특정한 수의 스케일링 법의 존재를 자동으로 보장한다.
치수 분석은 수학 이론에서 물리적 세계에 의해 부과되는 제약 조건 유형의 간단한 예이다. 물리적 세계의 모델을 개발할 때, 지켜야 할 기본 원칙들이 있다. 순수 수학자들과는 달리, 응용 수학자들은 우리 세계의 기본 구조에 의해 지시된 엄격한 제약을 받는다. 소넷이든 하이쿠든 시인들이 특정한 형태를 결정할 때, 그들은 창조성을 얻을 때 그들의 시의 형식을 제약한다. 마찬가지로, 수학 모델의 개발은 수학에 의해 지시된 스타일의 규칙을 가진 연습이지만 과학에 의해 주어진 내적인 제약을 가지고 있다.
응용 수학의 세계의 핵심은 모델의 개념이다. 가장 간단한 의미에서, latin단어 방식(척도)의 모델은 특정 질문에 답하거나 현상에 대한 통찰력을 얻기 위해 개발된 시스템을 추상적으로 표현한 것이다. 모델은 질문과 훈련에 따라 여러가지 맛과 크기로 나온다. 예를 들어, 생물학자의 경우, 모델은 텍스트로 요약된 여러 생화학적 과정의 설명과 시스템에 다른 참가자들의 영향을 설정하는 그림으로 구성될 수 있다. 그래픽으로 표시된 이러한 모델은 시스템의 다양한 프로세스와 양을 나타내는 다른 블록으로 구성되고 이러한 양의 상호 긍정적 또는 부정적 영향을 나타내는 화살표로 연결됩니다.(예:단백질 또는 유전자가 존재함). 생물학적 모델은 다양한 실험이나 이론적 관계에 기초한 과정의 현재 이해를 요약한 것이다.
응용 수학의 모형들은 완전히 다른 맛을 가지고 있다. 그것들은 질문에 답하고, 아이디어를 탐구하고, 시스템에 대한 통찰력을 얻을 수 있도록 개발된 정확한 수학적 구조입니다. 현미경이 우리의 눈에 비해 너무 작은 크기로 관찰하는 것처럼 수학적 모델은 우리가 직접 관찰할 수는 없지만 문제를 이해하는 데는 중요한 양에 접근할 수 있다. 수학적인 용어로 설정하면 마음이 모든 가정을 명시적으로 규정하고 모형의 모든 결과가 수학적 엄격함과 숫자 계산의 조합에 의해 뒷받침되도록 할 수 있습니다. 스코틀랜드 출신의 또 다른 위대한 자연 철학자 켈빈 경이 1883년 관측치를 계량화할 필요성을 요약했습니다.
저는 종종 여러분이 말하고 있는 것을 측정하고 숫자로 표현할 수 있을 때, 여러분은 그것에 대해 잘 알고 있습니다. 하지만 여러분의 지식은 숫자로 표현할 수 없을 때, 그는 할 수 있다.
모형은 방정식이 이치에 맞도록 모든 변수와 모수를 적절하게 정의하고 정량화해야 하기 때문에 궁극적인 계량 형태입니다.
일반적으로, 우리는 모델이 건전한 원칙에 기초하고, 수학적으로 일관되며, 약간의 예측 또는 통찰력의 가치를 갖기를 기대한다. 이 기본적인 개념들을 살펴보자.
일반적으로, 수학적 모델들은 관찰, 실험, 그리고 이론들의 조합에 기초한 방정식들의 집합의 형태를 취한다. 이러한 방정식은 변수와 매개 변수를 포함합니다. 두 값의 차이가 항상 명확한 것은 아니지만, 근본적으로 매개 변수는 문제의 입력 값이며, 수량이 지정됩니다. 변수는 우리가 결정하려고 하는 수량이다.
다음과 같은 기본적인 문제를 예로 들 수 있습니다. 내가 이 책을 팔아서, 가령 10파운드 정도의 돈을 벌었다고 가정해 보자. 심각한 사람들로부터 주식 시장에 내 수입을 투자하는 것보다 주식 시장에 투자해야 한다는 조언을 들었다. 초기 투자를 두배로 늘리려면 얼마나 걸릴지 알고 싶습니다. 이 질문에 답하기 위해서, 나는 과거의 자료를 바탕으로 주식 시장의 본질에 대한 몇가지 기본적인 가정을 해야만 할 것이다. 주식 시장의 연간 투자 수익률이 r%라고 가정하면, 나는 1년 후£10×(1+reserts100)2가 2가 될 것이다. 이 문제의 구조를 쉽게 알 수 있으며, N년 후 초기 투자 x%수익으로 시작하여£(x, r, N)의 증가에 대한 모델을 일반화할 수 있습니다.
이 문제에서 r은 매개 변수이고 x와 N은 변수이다. 이 모델은 간단하고 주어진 x, r, N를 주는 형태이지만, 또한 이 방정식을 사용하여 초기 투자를 2배로 늘리는 데 소요되는 시간을 예측할 수 있습니다.
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