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수학적 모델의 형태

by sbsnewstech 2022. 12. 28.

이 방정식은 양 측의 대수를 이용하여 상품의 대수가 로그의 합이라는 것을 상기함으로써 풀 수 있다.

예를 들어, 10%의 낙관적인 수익률을 보일 경우, 로그 2/로그(1.1)는 대략 7.27년이 소요됩니다.

나는 또한 N=5로 r을 해결함으로써 5년 후 투자를 배가하는데 필요한 수익의 유형을 조사할 수 있다. 약 15%의 반품이 필요합니다. 이제 저는 그 문제에 대해 충분히 교육을 받았기 때문에, 교육 받은 선택을 할 수 있고 얼음 창조물을 사는 것이 더 낫다고 결정합니다.

이 모델은 많은 가정에 기초하고 있다. 분명히, 나는 미래에 주식 시장이 무엇을 할지 모르고 나는 독자들에게 어떤 재정적인 결정을 내리기 위해 이 방정식을 맹목적으로 사용하라고 충고하지 않을 것이다. 그러나, 이러한 가정들의 틀 안에서, 나의 모델은 문제의 주요 변수들을 연결한다. 중요한 것은, 수학적인 분석이 복합적인 관심사의 본질과 단순한 시나리오에서 제가 기대할 수 있는 것을 이해하게 한다는 것입니다.

지구 기후 변화나 경제의 진화와 관련된 작거나 큰 수학적 모델의 예측은 많은 가정에 근거한다. 수학적 모델은 가정과 무관하게 존재하지 않는다. 일단 모델을 정의하는 수학 방정식이 확립되면, 이러한 가정의 한계 내에서만 유효하고 더 넓은 맥락에 모델을 적용하려고 할 때는 매우 주의해야 합니다.

학교에서 잘 알려 진 예로는 손으로 던지는 공의 움직임을 결정하는 문제이다. 우리는 이러한 간단한 문제를 이용하여 가정과 질문에 기초한 모델의 복잡성 증가를 설명할 수 있다.

첫번째 모델은 뉴턴의 운동 방정식에 의존합니다. 즉, 수직 방향에서 점 질량 mx지점의 가속도 이동 거리는 물체에 적용되는 수직 방향 힘(종종 z1로 요약됨)과 같습니다. 마찬가지로 수평 방향의 가속도는 같은 방향으로 질량에 가하는 힘과 관련이 있다는 것을 알고 있다. 공이 일정한 중력의 영향을 받고 마찰을 무시한다고 가정하면, 수평 힘은 사라지고 수직 힘은 일정하게 유지된다. 그런 다음 가속이 시간에 대한 위치의 두번째 파생 모델임을 상기시키면서, 시간 함수로서 볼의 수직 및 수평 위치에 대한 2초 순서 선형 미분 방정식의 수학적 형태를 취합니다. 우리 문제의 변수는 위치와 문제의 매개 변수는 질량, 초기 위치, 속도, 그리고 중력과 시간의 가속이다. 그런 다음 간단한 계산을 통해 지면에 닿기 전에 걸리는 시간과 주행 거리를 결정할 수 있습니다. 모델의 솔루션은 또한 볼의 속도와 운동 및 위치 에너지를 항상 설명합니다. 다시 말해, 이 모델은 정확하고 완벽하게 해결될 수 있습니다.

기민한 독자들은 이러한 이상적인 묘사가 매우 현실적이지 않다는 것을 알게 될 것이다. 왜냐하면 공기는 우리가 소홀히 했던 공의 움직임에 대한 저항을 제공하기 때문이다. 그런 다음 두번째 모델은 공의 속도를 늦추는 힘을 특성화하는 간단한 현상학적 법칙을 통해 공기 마찰의 영향을 고려할 것이다. 여기서, 공에 작용하는 힘은 중력의 힘과 속도에 비례하는 항력의 합이다. 이 방정식은 여전히 간단하기 때문에 전통적인 방법으로 풀 수 있다. 이 새로운 모델은 추가적인 파라미터와 드래그 계수를 포함해야 하며, 이 모델의 솔루션은 모든 키네마틱 및 기계적 수량에 대한 더 나은 추정치를 제공합니다.

지각 있는 독자는 공에 작용하는 힘이 일정하게 유지된다는 가정에 이의를 제기하고 올바르게 질문할 수 있다. 실제로 공의 수직 위치가 증가함에 따라 공에 작용하는 힘은 아이작 뉴턴의 만유 인력의 법칙에 따라 감소한다. 복잡하기는 하지만, 그러한 미세한 효과를 고려한 세번째 모델을 쉽게 기록하고 해결할 수 있습니다. 이 모델의 분석에 따르면 공의 움직임은 무시할 수 있지만 위성의 움직임이나 대륙 간 탄도 미사일의 움직임을 이해하려고 한다면 이 효과는 관련이 있을 수 있다.

그러나, 스포티한 독자는 또 다른 효과를 알고 있다. 공을 던지는 동안 크리켓이나 야구 공이 회전할 때, 공의 위치가 공중에서 흔들릴 수 있는데, 이것은 이전의 어느 모델도 묘사하지 않은 영향이다. 이 경우 실험보다는 경험을 통해 물체의 회전과 공기가 공의 바늘로 상호 작용하는 것을 포함하는 유한한 크기의 물체의 움직임을 고려해 볼 수 있습니다. 이 문제는 공식화될 수 있지만 그 해결책은 매우 복잡하다. 공기 흐름을 공의 움직임과 결합시키는 진보된 수학적 방법과 그러한 문제에 대한 광범위한 계산 연구의 조합은 그러한 공이 적절하게 회전할 때 공기 중에서 여러번 방향을 바꿀 수 있다는 것을 밝혔다. 이러한 방법들은 풍동 실험과 결합하여 새로운 스포츠 공을 설계하는데 사용된다.

마지막으로, 정제된 판독기는 두 질량의 상대적 위치가 변할 때 물체 사이의 거리와 사건 간격을 측정하는 데 사용되는 측정 지표를 변경하여 앉는 공간 시간의 기본 구조에 영향을 가한다. 공 던지기 문제는 일반 상대성 이론 내에서 해결되어야 한다. 이러한 효과를 고려한 다섯번째 모델은 원칙적으로 파생될 수 있다. 그러나 그렇게 하기 전에 그러한 접근법의 타당성에 의문을 제기하는 것이 중요하다. 모델링은 추상 물리학에서의 연습이 아닙니다. 그것은 타당한 판단과 근본적인 문제의 이해에 의존해야 한다. 우리의 경우, 지구와 공이 태양과 비슷한 질량을 가지지 않는 한, 우리는 간단한 추정으로부터 이러한 영향들이 역할을 하지 않는다는 것을 알고 있습니다.

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