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응용수학 11, 모델 복잡성과 물리학 패러다임

by sbsnewstech 2022. 12. 28.

현미경의 서로 다른 렌즈처럼, 공의 움직임에 대한 각각의 모델은 같은 문제를 연구하지만 다른 질문에 대답하기 위해 다른 수준의 해상도나 복잡성을 연구한다.

모형의 복잡성이 증가함에 따라 수학 공식을 입력하는 방정식, 변수 및 모수의 수도 증가합니다.

그러한 과정에 의해 생성된 방정식은 복잡성이 증가하고 곧 철저한 수치적 접근이 필요하다. 그림 7에서 스케치한 대로, 모델은 질문에 따라 다양한 크기를 가질 수 있으며, 그 공식에 나타나는 변수와 방정식으로 대략적으로 측정될 수 있지만 대부분의 연구자는 다른 모델보다 복잡성에 대해 말한다.

모델 크기, 통찰력 및 예측 능력 간의 균형을 보여 주는 모델 복잡성은 물론, 몇몇 문제에 대해서는 Goldilocks지역이 더 왼쪽이나 더 오른쪽에 있을 것입니다.

어느 한쪽 끝에서, 문제에 대한 단순한 접근은 쉽게 해결될 수 있지만 여전히 핵심적인 통찰력을 제공하는 작은 모델로 이어질 수 있다. 우리의 복리 후생 모델과 공 던지는 첫번째 모델은 둘 다 그 범주에 속할 것이다. 그것들은 각각 기하 급수적인 성장과 탄도 궤도의 근본적인 특성에 대해 우리에게 가르친다. 그러나 이러한 단순한 모델은 일반적으로 시스템의 주요 특성을 무시하기 때문에 낮은 예측 능력을 가지고 있습니다. 우리의 금융 모델은 시장을 예측하는데 쓸모 없을 것이고, 우리의 뉴턴 모델은 새로운 발바닥을 디자인하거나 탄도 문제를 어떤 정밀도로도 해결하는데 도움이 되지 않을 것이다.

대형 모델은 해결하기가 더 어렵고 일반적으로 현상에 대한 통찰력이 떨어지지만 적절하게 공식화하고 구현할 경우 상당한 예측 능력을 가질 수 있습니다. 수학, 컴퓨터 과학, 과학, 공학이 기술적, 사회적 또는 과학적 도전을 함께 해결함에 따라 현대의 수학적 모델링이 번성하는 것은 Goldill지역이다. 

스펙트럼의 다른 쪽 끝에서는 알려진 모든 물리적 프로세스를 맹목적으로 준수하거나 매개 변수와 변수의 수를 초과하면 모델이 유효할 수 있지만 모델이 너무 커서 의미 있는 정보를 추출하지 않는다. 이 모델들은 쓸모 없고 해결하기 불가능하다. 예를 들어, 공의 움직임에 대한 터무니 없는 다섯번째 모델은 정확한 물리학을 포함할 수 있지만, 그것은 원래 문제와는 완전히 분리되어 있다.

모델의 복잡성과 이로부터 얼마나 많은 정보를 추출할 수 있는가는 민감한 문제이며, 모델을 분석하는 데 사용할 수 있는 기본적인 과학적 질문과 방법 모두를 잘 이해해야 한다. 이것이 모형화가 종종 기술과 예술로 일컬어지는 이유인데, 이것은 그것이 지식, 기술, 직관, 그리고 어떤 아름다움과 우아함에 기초해야 하기 때문이다.

주어진 현상에 대한 수학적 모델을 개발하는 데 포함되는 단계는 무엇인가? 교과서적인 답은 물리학의 기본 방정식이 처음 확립된 단순화된 아포크리아적 과정인 소스카드 물리 패러다임에 의해 제공된다.

예를 들어, 우리 태양계의 행성들의 움직임을 생각해 보자. 수천년 동안 천문학자들은 하늘을 바라보며 다양한 물체들의 위치를 표로 표시해 왔다. 자연 철학자들의 두드러진 질문은 이 데이터에서 패턴을 찾아 궤도의 주요 측면을 포착하는 방정식을 만드는 것이었습니다. 1543년 코페르니쿠스에 의해 레보루티오부스의 출판으로 특징 지어진 첫번째 주요한 진보는 행성의 움직임을 이해하기 위해서는 지구의 중심이 아닌 태양을 고려하는 것이다. 두번째 주요 개발 분야는 16세기 후반에 TychoBrahe가 조심스럽게 기록한 궤도 상의 방대한 자료 수집이었다. 이 데이터는 다른 연구자가 새 가설을 검정하는 데 사용할 수 있는 기준점을 생성했습니다. 브라히 이후 30년 후의 세번째 단계는 많은 천문학적 자료를 설명하는 행성 운동 법칙의 케플러에 의한 발견이었다. 그림 8에 스케치된 이러한 법률은 다음과 같습니다.

케플러의 행성 운동 법칙. K1: 닫힌 궤도는 태양과 함께 위치한 타원체입니다. K2:동등한 지역은 동일한 시간에 쓸려 간다. K3:행성 궤도 주기의 제곱은 반마조 축의 세제곱에 비례한다.

•K1. 태양계에 있는 행성의 궤도는 두개의 지점 중 하나에서 태양과 함께 타원형이다.

•K2. 행성은 동일한 시간 간격으로 동일한 면적을 쓸어 낸다.

•K3. 행성 궤도 주기의 제곱은 궤도의 반사조 축에 비례한다.

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