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응용수학 18, 수치 해석

by sbsnewstech 2022. 12. 28.

이 방정식의 집합으로 이어지는 추론은 매우 사소하다.

토끼는 번식하고 늑대는 토끼를 먹고 늑대는 먹을 토끼 없이 죽는다.

우리는 이러한 가정들을 가장 간단한 가능한 구조로 수학적으로 표현해 왔다. 이제, 우리는 두 집단에게 무슨 일이 일어나는가에 대해 비-트리비컬 질문을 던질 수 있습니다. 이 문제는 미분 방정식의 시스템을 분석해야만 답할 수 있다. 우리의 경우, 그 시스템은 복잡한 기능의 측면에서 정확하게 해결될 수 있을 정도로 충분히 간단하다. 그러나 이 정확한 해결책은 특별히 밝지는 않다. 좀 더 생산적인 접근법은 두 집단이 균형을 이루고 있는 단순한 해결책을 찾는 데 있다. R과 W가 모두 일정한 경우, 즉 R=W=0또는 Req=β/Re, Weq=α/h일 때 이러한 상황이 발생한다. 첫번째 경우는 사소하고 아무런 관심도 없다. 두번째 경우에는 두 모집단이 정확하게 일치하므로 시간에 변화가 발생하지 않는다. 그 상태를 유지하기 위해서는 시스템이 이 평형 상태에서 초기에 시작해야 하기 때문에 이 상황은 다소 불가능하다. 따라서, 자연스러운 질문은 초기 인구가 그 특별한 평형 용액에 가까이 있을 때 무슨 일이 일어나는가 하는 것이다. 이 문제에 대한 수학적인 분석은 이러한 경우에 인구는 주기적으로 진동하지만 단계를 벗어날 것이라는 것을 보여 준다. 토끼의 수가 증가함에 따라 늑대의 수도 늘어난다. 하지만 너무 많은 늑대들이 있을 때 토끼의 개체 수는 감소하고 그들에게 의존하는 늑대의 개체 수도 감소한다. 좀 더 많은 연구가 평형에 가까운 진동의 시기를 보여 줄 것이다. 골 밀도 행동은 대략적인 해결책과 수치적인 해결책 모두를 보여 주는 그림 12에 나타난다. 모든 실질적인 목적을 위해 수치는 정확한 해결책이며 대략적인 해결책의 타당성을 시험하는 데 사용될 수 있다. 우리의 분석은 포인카레 정신에 따라 정확하고, 대략적이며, 수치적인 결과를 결합하여 두종의 생물이 상호 작용할 때 예상되는 행동 유형을 전체적으로 보여 준다. 또한 매개 변수의 중요한 조합을 문제의 핵심 시간 척도로 식별합니다.

Lotka-Volterra모델의 사전 예측형 진화에 대한 오키레이션 (a)점선은 대략적인 솔루션이며, 솔리드 곡선은 숫자적인 솔루션입니다. 늑대의 경우 두 곡선을 구분할 수 없다는 점에 유의하십시오. 두 집단 모두 주기적으로 진동하지만 단계를 벗어난다. 늑대의 수는 토끼 수가 최대치에 도달할 때까지 여전히 증가하고 있습니다. 여기에서 선택한 값은α=2,β=1,고, 초기 조건은 주기에 해당하며, 초기 조건은 R0=9, R4=1.8(b)인 단계 평면에서 솔루션의 표현이다. imet, 용액의 점(R(t), W(t))을 표시합니다. 이 표현에서 주기적인 용액은 닫힌 곡선을 형성한다. 파선 곡선은 상단 그래프에 표시된 것과 동일한 솔루션에 해당합니다.

이 방정식의 체계는 1910년에서 20년경에 처음으로 수학을 공부한 두명의 수학자들을 따라 Lotka-Volterra모델로 알려져 있다. 비토 볼테라의 원래 동기는 1차 세계 대전 동안 물고기 집단에서 관찰된 진동을 이해하는 것이었다. 동적인 시스템에서 비선형적인 상호 작용으로부터 얻어질 수 있는 LeDynamics이다. 우리의 경우에는 선행 조건으로 인한 제품 RW가 비선형성입니다. 이것은 모집단 간의 상호 작용을 나타냅니다. 계절적 강제력으로 인해 계수가 변경될 때 솔루션이 어떻게 변화하는가와 같은 수학적 분석을 통해 솔루션에 대한 자세한 정보를 얻었습니다. 이 단순한 모델은 생태계 모델링과 질병 확산에 수학의 현저한 응용으로 이어진 대규모 작업의 시작점입니다. 오늘날, 이론적 역학과 이론적 생태학의 분야는 이러한 생각들에 기초하고 있고, 롯데-볼테라 모델은 이 연구들에서 하나의 패러다임으로 남아 있다.

수치적 해결책이란 무엇을 의미하는가? 현대 컴퓨터의 힘으로, 과학자들은 수백만개의 방정식을 가진 매우 큰 모델의 수치적인 해결책을 얻을 수 있고 놀라운 예측을 할 수 있습니다. 하지만 어떻게 이런 일이 실제로 일어날까요? 그리고 정확한 해결책과 수치적인 해결책의 차이점은 무엇인가? 기본적인 아이디어를 설명하기 위해 토끼의 기하 급수적인 성장을 위한 첫번째 미분 방정식을 다시 생각해 보세요.

우리는 그것의 정확한 해결책이 R=R0t라는 것을 알고 있다. 그 수치 해법은 R의 변화 속도가 짧은 시간에 걸쳐 모집단이 변화하는 방법을 고려하여 충분히 근사치인 Δt를 구할 수 있다.

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