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응용수학 19, 혼돈토끼

by sbsnewstech 2022. 12. 28.

미분 방정식에서 이 근사치를 대입하여 구할 수 있다.

이 등식의 핵심 특징은 시간 t에서 R을 알고 변수 R의 값을 구하기 위해 t+Δt를 구할 수 있다는 것이다.

예를 들어, R=1로 시작하고α=1/2을 사용하면Δt=0.1을 R(0+0.1)=1(1+1/2×0.1)으로 구할 수 있다. 이제 이 과정을 반복할 수 있다. 값은 t=0.2asR(0.1+0.1)=R(0.1)(1+1/2×0.1)=1.05×1.05 등이다. 미분 방정식의 정의로부터, 나는 미분 방정식의 해법을 얻기 위한 단순한 숫자 알고리즘을 도출했다.

R과 W.에 대해 결합된 시스템의 수치 솔루션을 계산하는 데 동일한 프로세스를 사용할 수 있으며, 두 모집단의 초기 값부터 시작하여, 원칙적으로 솔루션 a를 얻을 수 있다. 나중에 하지만 우리는 여기서 조심해야 한다. 한정된 차이(R(t+Δt)-R(t)/Δt)t로 파생 값을 근사치로 계산할 때 작은 오류가 발생했습니다. 이 오류는 몇 단계를 거친 후에도 작게 남아 있지만 솔루션을 여러번 계속 계산하면 이러한 오류가 누적될 수 있습니다. 수치적 해결책은 내가 관심을 가졌던 해결책과 완전히 다를지도 모른다.

우리는 지금 흥미로운 수학 문제를 가지고 있습니다. 수치적 해결책은 얼마나 좋은가? 그것은 정확한 해결책의 적절한 근사치인가? '양호한 '솔루션 또는' 적절한 근사치'로 의미를 제대로 정의할 수 있습니까? 오랜 시간이 지난 후에 실제 솔루션에 근접하게 유지되도록 보장하기 위해Δt의 작은 증가치를 어떻게 선택해야 합니까? 이 질문들은 모든 수치 시뮬레이션을 뒷받침하는 수학적 이론인 수치 해석의 핵심에 있다. 수치 해석의 주요 목표는 새로운 알고리즘을 찾고 기존의 알고리즘을 적용하여 방정식의 시스템을 풀고 데이터를 처리하며 그 수학적 특성을 이해하는 것이다. 좋은 수치적 방법과 충분한 컴퓨터 시간으로, 계산에서 발생한 오류는 종종 우리가 원하는 만큼 작게 만들 수 있다. 따라서 수치 분석은 이상적인 정확한 해결책에서 벗어나 실질적인 모든 목적을 위해 이러한 솔루션을 제어할 수 있는 신뢰할 수 있는 해결책을 생성하는 대안을 제공한다. 전원을 켜는 것도 정확한 것으로 간주할 수 있습니다. 많은 수학적 모델들이 미분 방정식을 포함하고 있고 우리는 대부분의 미분 방정식이 정확히 공식을 통해 해결될 수 없다는 것을 알고 있기 때문에, 수치 분석은 주요 도구 f or querying and solving scientific models.

로트카-볼테라 방정식의 해답을 시각화하는 간단한 방법은 토끼에 그것들을 그리는 것이다. 늑대는 비행기를 탄다. 실제로 매번 t에서 해법은 한 쌍의 값(R(t), W(t)이다. 이 쌍은 그림 12와 같이 위상 평면 R - W의 단일 점을 나타낸다. t가 증가하면 점(R(t), W(t)는 해당 평면에서 곡선을 추적한다. 푸앵카레의 혁명적인 생각은 이러한 곡선의 모양을 고려하는 것이었다. 용액이 일정하면 위상 평면에서 단일 고정점이 된다. 주기적인 경우, 동일한 평면에서 주기적인 궤도를 만들게 되는데, 그것은 닫힌 곡선이다. 간단한 일반적인 질문은 다음과 같다: 미분방정식의 해법에 대해 위상 면의 가능한 형태는 무엇인가? 이 문제는 정확한 해결책을 찾는 대안으로 20세기에 개발된 역동적인 시스템의 수학 이론의 중심 문제 중 하나이다. 이 이론의 특히 중요한 측면은 시간에 명시적으로 의존하지 않는 두 변수(예: 로트카-볼테라 시스템)의 대종류의 시스템에 대해 해답은 현저하게 단순하다는 것이다. 유한한 상태로 남아 있는 유일한 해결책은 고정점과 주기적인 궤도를 연결하는 주기적인 궤도, 고정점 또는 곡선(고정점에 고정점, 주기 또는 비트에 고정점, 주기적인 궤도에 고정점 또는 주기적인 궤도에 대한 주기적인 궤도)뿐이다.

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