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응용수학 20, 다른 과학 사이의 흥미로운 상호 작용

by sbsnewstech 2022. 12. 28.

세 가지 변수로 구성된 시스템은 어떤가?

응용 수학의 큰 놀라움 중 하나는 세 개의 변수를 가진 역동적인 시스템의 경우 위상 공간에 그려진 곡선이 매우 복잡할 수 있다는 발견이었다.

고정된 지점과 주기적인 궤도를 제외하고, 혼돈된 궤도로 알려진 복잡한 해결책이 있다. 그러한 궤도의 가능성을 설명하기 위해, 우리는 로트카-볼테라 시스템으로 돌아가 또 다른 포식자를 추가한다고 여우는 말한다. 우리의 새로운 시스템은 지금 읽는다.

여기서 α, β, γ은 일정한 양의 매개변수이고 F는 여우 집단을 나타낸다.

이 매개 변수들이 사라지면, 우리는 우리의 최초의 Lotka-Volterra시스템을 복구한다. 이 시스템은 특정한 생태 시스템의 모델이 되기 위한 것이 아니다. 대신, 역학 시스템에서 찾을 수 있는 해결책의 본질을 이해하기 위해 여기에 사용된다.

매개 변수의 값과 초기 모집단 크기에 따라 고정 지점 및 주기적 궤도와 같은 다양한 행동을 발견할 수 있다. 더욱 흥미로운 것은, 일부 매개 변수의 경우 그림 13과 같이 해결책이 혼란스러워 진다. 이 변수 값들의 경우, 용액은 주기적인 궤도에 머무르지 않고, 대신 그것이 남극에 도달할 때까지 구형 구조물을 감싸는 것으로 보인다. 그리고 나서 궤도는 다시 공 주위를 돌기 시작하기 전에 남쪽에서 북극까지 직접 추진된다. 이 궤도는 복잡하기 때문에 혼란스럽다고 불린다. 예를 들어, 얼마 후에 궤도가 북극이나 남극에 가까이 있을지, 아니면 리치 전에 공 주위를 몇번이나 돌지 예측하는 것은 불가능해 진다. ng북극 솔루션이 초기 값에 의해 완전히 결정되는 반면, 솔루션의 많은 특성은 랜덤 시스템에서 발견되는 특성과 유사합니다. 이는 또한 임의로 서로 가까이 붙어 출발하는 궤도 두개가 결국 완전히 다르게 보일 것이라는 것을 암시한다.

13.3차원 Lotka-Volterra방정식에 대한 혼란스러운 중재자(α=2,β=2.9,γ=3). 왼쪽: 짧은 시간 동안 초기 솔루션은 남극에 도달할 때까지 나선형으로 회전합니다. 궤도는 중심 핵을 따라 북극까지 이동하고 그곳에서 다시 소용돌이 치기 시작한다. 맞습니다. 이 동작을 더 오래 반복합니다. 그러나 Spiral(나선형)에서의 회전 수는 예측할 수 없는 방식으로 변경됩니다.

1960년대에, 간단한 동적 시스템이 복잡한 혼란스러운 해결책을 가질 수 있다는 발견은 미분 방정식 연구의 새로운 시대의 시작을 나타냈습니다. 그것은 또한 라플라스의 결정론적 관점을 반박하는 것이었다. 그렇다, 고전적 역학의 방정식은 단순하고 결정론적이지만 그것들의 해법은 랜덤 시스템만큼 복잡할 수 있다. 장기간에 걸쳐 작고 단순한 상호 작용이 축적되면 엄청나게 복잡한 행동을 할 수 있습니다. 방정식은 간단할 수 있지만, 그들의 해결책은 아주 복잡한 것일 수 있다.

방정식의 역사, 특히 미분 방정식을 볼 때, 우리는 수학, 응용 수학, 그리고 다른 과학 사이의 흥미로운 상호 작용에 주목한다. 미분 방정식은 자연 현상 모델링을 통해 처음 나타났다. 그리고 나서 그들은 수학의 새로운 분야를 개발하는데 그것들을 사용한 수학자들에 의해 상세하게 연구되었다. 이러한 결과들과 수학이 가져온 이해가 많은 모델들을 분석하는 데 핵심적이었다.

결국, 새로운 모델들은 새로운 질문들을 제기했고 새로운 수학적 방법들의 원천이었습니다. 예를 들어, 이상한 attra와 같은 혼란스럽고 매혹적인 새로운 수학적 물건들을 발견하게 된 것은 생태학의 에드워드 로렌츠와 로버트 메이와 같은 사람들의 작업이었다. 허브로스와 거친 쌍곡 세트입니다. 그 결과 동적 시스템 이론은 수학의 새로운 분야로 부상했다. 이러한 아이디어는 엄격한 도구, 대략적인 방법, 그리고 가장 중요한 숫자적 진보의 조합에 의해 도움을 받는 매우 구체적인 문제의 체계적인 분석에서 나온다. 오늘날 응용 수학은 비옥한 땅으로 남아 있고 새로운 수학적 아이디어에 영감을 주는 원천이다. 그리고 수학은 새로운 방법을 가져올 뿐만 아니라 자연 현상에 대한 더 깊은 이해를 가능하게 한다. MauriceBiot의 말을 빌면, 20세기에 특히 많이 적용된 수학자인 MauriceBiot의 말입니다.

응용 수학이라고 불리는 것은 그 자체로 존재하지 않지만, 수학 과학이 그 영양물을 찾는 기능과 기술을 본질적으로 설명한다.

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